如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，直径CF⊥AB于点E，AD、CF交于点H．（1）求证：EF=EH；（2）若OECD=58，AC=4，求BD的值．

Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，直径CF⊥AB于点E，AD、CF交于点H．
（1）求证：EF=EH；
（2）若(OE)/(CD)=(5)/(8)，AC=4，求BD的值．

Answer 1

如图1，连接AF，

∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCF，
∵∠BCF=∠BAF，
∴∠BAD=∠BAF，即∠FAE=∠HAE，
在△AEF和△AEH中，

∠FAE＝∠HAE

AE＝AE

∠AEF＝∠AEH

，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF=EH；
（2）如图2，连接AF，

∵直径CF⊥AB于点E，
∴∠ACD=2∠BCF，
∵∠BOF=2∠BCF，
∴∠BOE=∠CAD，
∵∠ADC=∠BEO=90°，
∴△BEO∽△ADC，
∴(BO)/(AC)=(OE)/(CD)，
∵(OE)/(CD)=(5)/(8)，AC=4，
∴(BO)/(4)=(5)/(8)，
∴BO=(5)/(2)，
∴FC=2BO=5，
∴在RT△CAF中，AF=√(FC2−AC2)=√(52−42)=3，
∵△CEA∽△CAF，
∴(CE)/(AC)=(AC)/(FC)，即(CE)/(4)=(4)/(5)，
∴CE=(16)/(5)，
∴