（2013•宝安区模拟）如图所示，矩形ABCD的AD边长为L，θ=30°．在矩形区域内，对角线BD以上的区域存在有平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未

Question

（2013•宝安区模拟）如图所示，矩形ABCD的AD边长为L，θ=30°．在矩形区域内，对角线BD以上的区域存在有平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未标出），一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（重力不计）以初速度v₀从A点沿AB方向进入电场，在对角线 BD上的P处进入磁场，且PD=4L/5，求：
（1）电场强度E的大小和带电粒子经过P点时速度v的大小和方向；
（2）若粒子恰能垂直穿出CD边界，则磁场的磁感应强度B的方向如何？大小为多少？
（3）磁场的磁感应强度B的大小和方向满足什么条件时，粒子不会返回电场区域．

Answer 1

（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t，则
AB方向：PDcos30°=v_ot…①
AD方向：L-PDsin30°=(qEt2)/(2m)…②
解得：E=(5mv20)/(2qL)…③
设粒子在P点沿AD方向的分速度为v_y，则有：
v_y=(qEt)/(m)…④
v=√(v20+v2y)…⑤
设速度与AB方向的夹角为α，则：
cosα=(v0)/(v)…⑥
解得：v=2v_o…⑦
α=60°即粒子垂直BD进入磁场        
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：
qvB=m(v2)/(r)…⑧
若粒子恰能垂直穿出CD边界，根据左手定则可知，B的方向应垂直纸面向外  
粒子运动半径：r=PD=(4L)/(5)     
将r代入⑧得：B=(5mv0)/(2qL)
（3）由⑧式可知，B越小，r就越大，r足够大时，粒子从CD或BC边界穿出，才不会返回电场区域．
1）若B的方向垂直纸面向外，粒子顺时针偏转，与CD相切得轨道半径为r₁，如图，由几何关系得：
Sin30°=(r1)/(PD−r1)
即r₁=(4L)/(15)
代入⑧得：
B₁=(15mv0)/(2qL)
若B的方向垂直纸面向外时，B＜(15mv0)/(2qL)
则粒子不会返回电场区域．  
2）若B的方向垂直纸面向内，粒子逆时针偏转，与CD相切得轨道半径为r₂，与BC相切得轨道半径为r₃如图，由几何关系得：
Sin30°=(r2)/(PD+r2)
即r₂=(4L)/(5)
cos30°=(r3)/(BD−PD−r3)
即r₃=(6(2√(3)−3)L)/(5)
因为r₃＜r₂则半径只要大于r₃就不会返回电场区域，将r₃代入⑧得：
B₂=(5(2√(3)+3)mv0)/(9qL)
若B的方向垂直纸面向内时，
B＜(5(2√(3)+3)mv0)/(9qL)，则粒子不会返回电场区域．
答：（1）电场强度E的大小为(5mv20)/(2qL)，带电粒子经过P点时速度v的大小为2v_o，方向垂直BD；
（2）若粒子恰能垂直穿出CD边界，则磁场的磁感应强度B的方向应垂直纸面向外，大小为(5mv0)/(2qL)；
（3）B的方向垂直纸面向外时，B＜(15mv0)/(2qL)，则粒子不会返回电场区域；
若B的方向垂直纸面向内时，B＜(5(2√(3)+3)mv0)/(9qL)，则粒子不会返回电场区域．