已知：点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC．（1）如图1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，试说明点P必在对角线AC上．

Question

已知：点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC．
（1）如图1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
（2）如图2，若PA ² +PC ² =2PB ² ，试说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

（1）如图1，将△APB绕点B旋转至△CBP′，则△APB≌△CBP′，
∴P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，
∴△BPP′是等腰直角三角形，PP′=4

2

，∠PP′B=45°，∠PP′C=90°，
∴PC=

PP ′ 2 +P′ C 2

=6；

（2）如图2，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
同（1），可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′ ² =2PB ² ；
∵PA ² +PC ² =2PB ² =PP′ ² ，
∴PC ² +P′C ² =PP′ ² ，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．