如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆，已知AB=1．则⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4．所夹的中心（阴影

Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆，已知AB=1．则⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄．所夹的中心（阴影）部分的面积为（　　）

A．((4−π)(3−2√(2)))/(16)
B．((3−2√(2))π)/(4)
C．((4−π)(3−2√(2)))/(4)
D．(1−π)/(16)

Answer 1

根据题意，顺次连接O₁O₂O₃O₄，
四个小圆为等圆，且四边形O₁O₂O₃O₄为正方形，
设O₁O₂与BD的交点E，
又AB=1，
故BD=√(2)，BE=(1)/(2)，MB=(√(2))/(2)，
所以ME=(√(2)−1)/(2)，
即小圆的半径为(√(2)−1)/(2)，
所以O₁O₂=√(2)−1，
即S_正方形=3-2√(2)，
又一四个扇形组成的面积S=((√(2)−1)/(2))2π=(3−2√(2))/(4)π，
S_阴影=S_正方形-S=3-2√(2)-(3−2√(2))/(4)π=((4−π)(3−2√(2)))/(4)；
故答案为((4−π)(3−2√(2)))/(4)．