已知○O1与○O2的半径分别为3和5,O1O2=10,求两圆的两条内公切线于一条外公切线所围成的三角形的面积.RT、

Question

已知○O1与○O2的半径分别为3和5,O1O2=10,求两圆的两条内公切线于一条外公切线所围成的三角形的面积.
RT、

Answer 1

分别过O1、O2作外公切线的垂线,垂足分别为C、D,
过P作PH⊥CD于H,
记两条内公切线与外公切线的交点分别为M、N（M离C近,N离D近,H应该在MN中间）,
分别过O1、O2作O1E⊥MF于F,O2F⊥MF于F,
过O1作DO2的垂线,垂足为Q.
∵：O1P：O2P=O1E：O2F=3：5
PG：O2Q=O1P：O1O2=3:8
∴：PG=（3:8）*2=3:4
∴：PH=3+（3:4）=15:4
∵：AN=CN
即AB+BN=CN
∵：CD=CN+ND
∵：AB+BN+ND=CD
又ND=BN
∴：BN=ND=（1:2）*（CD-AB）
CD=根号下[10^2-(5-3)^2]=4根号6（这是公式：两圆外公切线长为根号[d^2-(R-r)^2]）
AB=根号下[10^2-(5+3)^2]=6（和上面一样,是公式）
∴：ND=（2根号6）-3=CM
∴：MN=CD-ND-CM=6
∴：S△PMN=（1:2）*MN*PH=（1:2）*6*(4:15)=45:4