已知经过点A（1，-3），B（0，4）的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交，它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，求动圆圆心M的

Question

已知经过点A（1，-3），B（0，4）的圆C与圆x ² +y ² -2x-4y+4=0相交，它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）设圆C的方程为x ² +y ² +Dx+Ey+F=0，
∵圆C与圆x ² +y ² -2x-4y+4=0相交
∴两圆的公共弦方程为（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圆C经过点A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直线2x+y+1=0
∴

-(D+2)/(E+4) =-2

D-3E+F+10=0

4E+F+16=0

，∴

D=6

E=0

F=-16

∴圆C的方程为x ² +y ² +6x-16=0，即（x+3） ² +y ² =25．（4分）
（Ⅱ）圆C的圆心为C（-3，0），半径r=5．
∵动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切
∴|MC|-|MP|=5＜|PC|=6．
∴动圆M圆心的轨迹是以C，P为焦点，实轴长为5的双曲线的右支．（7分）
设双曲线的方程为 (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1(a＞0，b＞0) ，
∵c=3，a= (5)/(2)
∴ b 2 = c 2 - a 2 =(11)/(4) ，
故动圆圆心M的轨迹方程是 (x2)/((25)/(4)) -(y2)/((11)/(4)) =1(x＞0) ．（8分）