已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距为2√3,离心率为√3/2(2分之根号3).（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点B（0,b）,斜率为k的直线交椭圆与另一点D交x轴与点E,且[BD],[BE],[DE]成等比数列,求k^2

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距为2√3,离心率为√3/2(2分之根号3).
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0,b）,斜率为k的直线交椭圆与另一点D交x轴与点E,且[BD],[BE],[DE]成等比数列,求k^2的值.

Answer 1

1、2c=2√3得c=√3,e=c/a=√3/a=√3/2.故a=2,b=1.椭圆方程为x^2/4+y^2=1
2、B(0,1).设过椭圆顶点B（0,1）,斜率为k的直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程得
(4k^2+1)x^2+8kx=0,解得另一根为x=-8k/(4k^2+1)
y=kx+1令y=0,得x=-1/k.于是点B、E、D的横坐标分别是0,-1/k,-8k/(4k^2+1).由于三点共线,故三线段的长度与横坐标的对应距离成正比.于是[BD],[BE],[DE]成等比数列就意味着对应横坐标的差值的绝对值成等比数列.于是有
[0-(-1/k)]^2=|0-(-8k/(4k^2+1)|*|-1/k-[-8k/(4k^2+1)]|
化简得
8k^2*|4k^2-1|=(4k^2+1)^2
令k^2=x,则当k^2=x≥1/4时,有8x(4x-1)=(4x+1)^2,解得x=(2±√5)/4,于是k^2=(2+√5)/4；
当k^2=x