如图，椭圆与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，

Question

如图，椭圆 与过点 A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 。

（1）求椭圆的方程；
（2）设F ₁ ，F ₂ 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF ₂ 的中点，求证：∠ATM=∠AF ₁ T。

Answer 1

如图，椭圆 与过点 A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 。

（1）求椭圆的方程；
（2）设F ₁ ，F ₂ 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF ₂ 的中点，求证：∠ATM=∠AF ₁ T。

（1）过A、B的直线方程为
因为由题意得 有唯一解
即 有唯一解
所以 （ab≠0）
故a ² +4b ² -4=0
又因为 ，即
所以a ² =4b ²
从而得a ² =2，
故所求的椭圆方程为 。
（2）由（1）得
所以
从而
由 解得x ₁ =x ₂ =1
所以
因为tan∠AF ₁ T
又 得

因此∠ATM=∠AF ₁ T。