已知双曲线中,离心率=2,F1F2为左右焦点,P为双曲线上的一点,∠F1PF2=60度,S角形PF1F2=12√3,求双曲线方程.

Question

已知双曲线中,离心率=2,F1F2为左右焦点,P为双曲线上的一点,∠F1PF2=60度,S角形PF1F2=12√3,求双曲线方程.

Answer 1

设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分别是双曲线的左右焦点,P是双曲线上任意一点,PF1和PF2夹角为60,
在△PF1F2中,根据余弦定理,
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cos60,
||PF2|-|PF1||=2a,|F1F2|=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cos60,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cos60)
|PF1|*|PF2|(1-cos60)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cos60),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sin60
=b^2sin60/(1-cos60)
=√3b^2=12√3.
b^2=12.∵c/a=2,∴c=2a,b^2=c^2-a^2=3a^2=12,∴a^2=4
∴方程是x^2/4+y^2/12=1