是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标

Question

 是双曲线  上一点， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，直线 ， 的斜率之积为 .

(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足 ，求 的值．

Answer 1

 是双曲线  上一点， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，直线 ， 的斜率之积为 .

(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足 ，求 的值．

(1) e＝ .  (2)λ＝0或λ＝－4.

试题分析：(1)点P(x ₀ ，y ₀ )(x ₀ ≠±a)在双曲线 ＝1上，有 ＝1，        1分
由题意又有 · ＝ ，                       2分
可得a ² ＝5b ² ，c ² ＝a ² ＋b ² ＝6b ² ，则e＝ .                  4分
(2)联立 ，得4x ² －10cx＋35b ² ＝0，设A(x ₁ ，y ₁ )，B(x ₂ ，y ₂ )
则 ①                          6分
设 ， ，即
又C为双曲线上一点，即 －5 ＝5b ² ，有(λx ₁ ＋x ₂ ) ² －5(λy ₁ ＋y ₂ ) ² ＝5b ²   。7分
化简得：λ ² ( －5 )＋( －5 )＋2λ(x ₁ x ₂ －5y ₁ y ₂ )＝5b ²              。9分
又A(x ₁ ，y ₁ )，B(x ₂ ，y ₂ )在双曲线上，所以 －5 ＝5b ² ， －5 ＝5b ²
由①式又有x ₁ x ₂ －5y ₁ y ₂ ＝x ₁ x ₂ －5(x ₁ －c)(x ₂ －c)＝－4x ₁ x ₂ ＋5c(x ₁ ＋x ₂ )－5c ² ＝10b ²
得λ ² ＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.                   12分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题利用双曲线的标准方程，确定得到离心率。本题（II）在利用韦达定理的基础上，又利于点在曲线上得到λ的方程，使问题得解。