在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆E于两点，射线交椭圆E于点．（i）求证

Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆E于两点，射线交椭圆E于点．

（i）求证                        （ii）求面积的最大值。

Answer 1

试题解析：（I）由题意知 ，则 又 可得

所以椭圆C的标准方程为.（3分）

（II）由（I）知椭圆E的方程为

（i）设， ，由题意知 因为

又 ，即 所以 ，即 .（8分）

（ii）设 将代入椭圆E的方程，

可得

由 ，可得 …………………………①

则有 所以

因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令 将 代入椭圆C的方程可得

由 ，可得 …………………………………………②

由①②可知 因此 故 当且仅当 ，即 时取得最大值

由（i）知， 面积为 所以面积的最大值为 .（15分）