已知直线y=-x+1与椭圆x2/a2+y2/b2=1相交于AB两点（1）若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2,求椭圆方程（2）若OA⊥OB,当椭圆的离率e∈［1/2,√2/2］时,求椭圆的长轴长的最大值

Question

已知直线y=-x+1与椭圆x2/a2+y2/b2=1相交于AB两点
（1）若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2,求椭圆方程
（2）若OA⊥OB,当椭圆的离率e∈［1/2,√2/2］时,求椭圆的长轴长的最大值

Answer 1

e=√3/3,2c=2,c/a=1/a=√3/3,
a=√3,b^2=a^2-c^2
b=√2
椭圆的方程为:x2/3+y2/2=1
设A（x1,y1）,B（x2,y2）
OA⊥OB,x1x2+y1y2=0
y=-x+1,x2/a2+y2/b2=1得
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0
△=（-2a^2)^2-4a^2（a^2+b^2)(1-b^2)＞0
a^2+b^2＞1,x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)
x得：x1x2+y1y2=0 2 x1x2-(x1+x2)+1=0
2a^2/(a^2+b^2)+a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)+1=0
a^2+b^2-2a^2b^2=0,b^2=a^2-c^2=a^2-a^2e^2
代入上式得2a^2=1+1/(1-e^2),e∈［1/2,√2/2］
1/4≤e^2≤1/2
7/3≤1+1/(1-e^2)≤3,
√42/6≤a≤√6/2
√42/3≤2a≤√6
长轴长的最大值为:√6