已知双曲线C：的右焦点为F2，F2在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF2Q是边长为2的正方形，（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过F2的直线l交C于A、B两点，

Question

已知双曲线C： 的右焦点为F ₂ ，F ₂ 在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF ₂ Q是边长为2的正方形，
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过F ₂ 的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由。

Answer 1

已知双曲线C： 的右焦点为F ₂ ，F ₂ 在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF ₂ Q是边长为2的正方形，
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过F ₂ 的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由。

（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F ₂ 点到任一条渐近线的距离为2，
，
故双曲线C的方程为 。  
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：
当直线l的斜率不存在时，结论不成立；
当直线l斜率存在时，设其方程为 ，
并设 、 ，
由 知 ，
，
则 ， 
故
这不可能；
综上可知，不存在这样的直线。