（2014•泉州模拟）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的

Question

（2014•泉州模拟）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F₁、F₂是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．

（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．
①求证：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F₁，N′F₂与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．

Answer 1

（Ⅰ）（i）证明：连结O′M，O′N，∵O′O⊥底面A′B′N′，O′M⊂底面A′B′N′，
∴O‘O⊥O′M，∵O′M⊥A′B′，O′O⊂平面AA′B′B，A′B′⊂平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，
∴O′M⊥平面AA′B′B，同理ON⊥平面AA′B′B，∴O′M∥ON，
又O′M=ON，∴四边形ONO′M为平行四边形，
又∵OM不包含于平面AA′B′B，O′N⊂平面AA′B′B，
∴OM∥平面AA′B′B．
（ii）由题意得AA′＝√(6)，底面上的椭圆的长轴长2√(2)，短轴长为2，
如图，以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则有F₂（1，0，0），N（0，1，0），A′(−√(2)，0，√(6))，B′(√(2)，0，√(6))，

NA′

＝(−√(2)，−1，

作业帮用户 2016-12-12

问题解析

（Ⅰ）（i）连结O′M，由已知条件推导出O′M⊥平面AA′B′B，ON⊥平面AA′B′B，所以O′M∥ON，由此能证明OM∥平面AA′B′B．
（ii）以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值．
（Ⅱ）当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，tan（α+β）=-

√(3)；当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，tan(α+β)＝−(4√(3))/(5)，直观判断tan（α+β）的取值范围是[-√(3)，-(4√(3))/(5)]．由已知条件推导出∠N′F1N，∠N′F2N分别为N′F₁，N′F₂与下底面所成的角，∠N′F1N＝α，∠N′F2N＝β，由此能证明tan（α+β）的取值范围是[-√(3)，-(4√(3))/(5)]．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两角和正切值取值范围的求法与证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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