在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，H是BC上一点，且AB=2BG=4BH（1）求证：平面AGH⊥平面EFG（2）若a=4，求三棱锥G-ADE的体积．

Question

在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，H是BC上一点，且AB=2BG=4BH 

（1）求证：平面AGH⊥平面EFG
（2）若a=4，求三棱锥G-ADE的体积．

Answer 1

证明：（1）连接FH，
∵CD⊥BC，CD⊥CF，
∴CD⊥平面BCFG． 又∵GH⊂平面BCFG，
∴CD⊥GH． 又∵EF∥CD，
∴EF⊥GH，
∵AB=2BG=4BH=a，
∴GH=√(BG2+BH2)=(√(5)a)/(4)，FH=√(FC2+HC2)=(5a)/(4)，GF=√(a2+(a2)/(4))=(√(5)a)/(2)，
∴FH²=FG²+GH²，
∴GH⊥FG．
又∵EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，
∴GH⊥平面EFG．又GH⊂平面AGH，
∴平面AGH⊥平面EFG．
（2）∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，
∴CF∥BG，又∵ED∥CF，
∴BG∥ED，又BG⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴BG∥平面ADE，
∴V_G-ADE=V_B-ADE=V_E-ABD=V_F-ABD=(1)/(3)S_△ABD•CF=(1)/(3)×(1)/(2)×42×4=(32)/(3)．