求使关于X的方程(a+z)*x的平方-(a的平方+1)*x+x*a的三次方-6=0的根都为整数的所有整数解

Question

求使关于X的方程(a+z)*x的平方-(a的平方+1)*x+x*a的三次方-6=0的根都为整数的所有整数解

Answer 1

第一种情况,a+z=0,这样的话容易知道只需a^3-a^2-1是6的约数就可以了,也就是说a^3-a^2-1可以取值1,2,3,6,-1,-2,-3,-6.又因为a是整数,所以简单枚举几个数就知道a=0,1,2,-1是符合条件的,由a+z=0也可以得到z.
第二种情况,a+z不为0.设方程的两个根为x1,x2,由二次方程根与系数的关系可以知道x1x2=-6/(a+z),又因为x1和x2都是整数,a+z必定可以整除-6,这样的话x1x2就只能取1,2,3,6,-1,-2,-3,-6.枚举各种x1,x2的可能情况,由二次方程根与系数的关系可以知道x1x2=-6/(a+z),x1+x2=(a^3-a^2-1)/(a+z),算的时候首先根据第一条式算出a+z,然后再代入第二条式得出关于a的方程,然后观察解就可以了.
这道题其实关键就在要有耐心枚举~~~计算量比较大但是思路还是自然的~~~