若a,b,c都是奇数,则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根

Question

若a,b,c都是奇数,则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根

Answer 1

证明：
设方程有一个有理数根m/n（m,n是互质的整数）.
那么a(m/n)^2+b(m/n)+c=0,即an^2+bmn+cm^2=0.
把m,n按奇数、偶数分类讨论,
∵m,n互质,∴不可能同为偶数.
①当m,n同为奇数时,则an^2+bmn+cm62是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；
②当m为奇数,n为偶数时,an^2+bmn+cm^2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；
③当m为偶数,n为奇数时,an^2+bmn+cm^2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.
综上所述 不论m,n取什么整数,等式a(m/n)^2+b(m/n)+c=0都不成立.
即假设方程有一个有理数根是不成立的.
∴当a,b,c都是奇数时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根