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有俩非零多项式f(x)和g(x)已知f(g(x))=f(x)*g(x)g(2)=37求g(3)=?
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有俩非零多项式f(x) 和 g(x) 已知f(g(x))=f(x)*g(x) g(2)=37 求g(3)=?
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答案和解析
若f为n次多项式,g为m次多项式,则f(g(x))为nm次多项式,而f(x)*g(x)仅为n+m次多项式
所以有nm=n+m (n-1)(m-1)=1 可知n=m=2 或n=m=0(零次多项式,舍去)
n=m=2 可设f(x)=ax²+bx+c,其中a≠0 则f(g(x))=ag²(x)+bg(x)+c=(ax²+bx+c)g(x)
可知g(x)|c 只能是c=0 且 ag(x)+b=ax²+bx g(x)=x²+(b/a)x-(b/a)
g(2)=4+2(b/a)-(b/a)=37 知b/a=33
所以g(3)=9+3(b/a)-(b/a)=9+99-33=75
所以有nm=n+m (n-1)(m-1)=1 可知n=m=2 或n=m=0(零次多项式,舍去)
n=m=2 可设f(x)=ax²+bx+c,其中a≠0 则f(g(x))=ag²(x)+bg(x)+c=(ax²+bx+c)g(x)
可知g(x)|c 只能是c=0 且 ag(x)+b=ax²+bx g(x)=x²+(b/a)x-(b/a)
g(2)=4+2(b/a)-(b/a)=37 知b/a=33
所以g(3)=9+3(b/a)-(b/a)=9+99-33=75
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