有俩非零多项式f（x）和g（x）已知f（g（x））=f（x）*g（x）g（2）=37求g（3）=?

Question

有俩非零多项式f（x） 和 g（x） 已知f（g（x））=f（x）*g（x） g（2）=37 求g（3）=?

Answer 1

若f为n次多项式,g为m次多项式,则f(g(x))为nm次多项式,而f(x)*g(x)仅为n+m次多项式
所以有nm=n+m (n-1)(m-1)=1 可知n=m=2 或n=m=0(零次多项式,舍去)
n=m=2 可设f(x)=ax²+bx+c,其中a≠0 则f(g(x))=ag²(x)+bg(x)+c=(ax²+bx+c)g(x)
可知g(x)|c 只能是c=0 且 ag(x)+b=ax²+bx g(x)=x²+(b/a)x-(b/a)
g(2)=4+2(b/a)-(b/a)=37 知b/a=33
所以g(3)=9+3(b/a)-(b/a)=9+99-33=75