A＾2=A,证明：存在可逆矩阵P使得P＾-1AP=[Er0][00]

Question

A＾2=A,证明：存在可逆矩阵P使得P＾-1AP=[Er 0] [ 0 0]

Answer 1

对于此种问题,最简洁的处理方式是采用最小多项式（也称极小多项式）.
由于A＾2=A,故A＾2-A=0,也就是说x^2-x是A的零化多项式,由于最小多项式一定是零化多项式的因式,因此最小多项式一定是x或x-1或x^2-x.注意到无论最小多项式是上述哪个,都可以写成互不相同一次因式乘积.从而根据可对角化定理（可对角化充要条件是最小多项式可以表写成互不相同一次因式乘积）,A可对角化.另外,由于最小多项式和特征多项式具有相同根,因此特征值只可能有0和1,因此标准型必为[Er 0] [ 0 0],从而问题得证.
多说一句,这种矩阵成为幂等矩阵,具有非常好的性质,比如上面说的特征值为0或1（只有0,只有1,既有0也有1）,最小多项式为x或x-1或x^2-x,幂零矩阵对应线性空间中的幂零变换,可以证明有限维线性空间中幂零变换等价于投影变换.