1、设P是n阶可逆矩阵,如果B=B=P-1AP,证明：Bm=p-1AmP,这里m为任意正整数,为P的指数.2、n阶方阵A满足A2=A,证明：A或者是单位矩阵,或者是不可逆矩阵.不好意思打快咯，是B=P-1AP

Question

1、设P是n阶可逆矩阵,如果B=B=P-1AP,证明：Bm=p-1AmP,这里m为任意正整数,为P的指数.
2、n阶方阵A满足A2=A,证明：A或者是单位矩阵,或者是不可逆矩阵.
不好意思打快咯，是B=P-1AP

Answer 1

1.因为B=P-1AP,则Bm=（P-1AP）（P-1AP）（P-1AP）……（m个）=P-1A（PP-1）A（PP-1）A（PP-1）AP……=P-1AmP,因为PP-1=E
2.设A的特征值为λ,则Aa=λa,a为特征向量,等式两边左乘A,则A2a=λAa,代入A2=A,则有
λa=Aa=A2a=λAa=λ2a,a是特征值不为零,
则λ=λ2,从而λ=0或1.特征方程式|λE-A|=0,当λ=1时,|E-A|=0,显然A=E；
当λ=0时,|0E-A|=|A|=0,则A不可逆.