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已知三角形ABC两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5(1)k为何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,三角形ABC是等腰三角形
题目详情
已知三角形ABC两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5(1)k为何值时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,三角形ABC是等腰三角形?并求三角形ABC的周长
(2)k为何值时,三角形ABC是等腰三角形?并求三角形ABC的周长
▼优质解答
答案和解析
∵x^2-(2k+1)x+k(k+1)=0
∴﹙x-k﹚[x-﹙k+1﹚]=0
∴x1=k,x2=k+1
∴AB=k,AC=k+1(不妨设AB<AC)
⑴若三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形,则BC²=AB²+AC²
∴5²=k²+﹙k+1﹚²=2k²+2k+1即k²+k-12=0
解得k=3或k=﹣4(舍去)
∴k=3时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形;
⑵若AB=BC=5,则k=5,等腰△ABC的周长=5+6+5=16;
若AC=BC=5,则k=4,等腰△ABC的周长=周长=4+5+5=14;
∴﹙x-k﹚[x-﹙k+1﹚]=0
∴x1=k,x2=k+1
∴AB=k,AC=k+1(不妨设AB<AC)
⑴若三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形,则BC²=AB²+AC²
∴5²=k²+﹙k+1﹚²=2k²+2k+1即k²+k-12=0
解得k=3或k=﹣4(舍去)
∴k=3时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形;
⑵若AB=BC=5,则k=5,等腰△ABC的周长=5+6+5=16;
若AC=BC=5,则k=4,等腰△ABC的周长=周长=4+5+5=14;
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