求证2sin2A≤cot(A/2),（兀＞A＞O）已知ABC为三角形三个角且tanA*tanC=tanB^2求证兀/3≤B＜兀/2

Question

求证2sin2A≤cot(A/2),（兀＞A＞O）
已知ABC为三角形三个角
且tanA*tanC=tanB^2
求证兀/3≤B＜兀/2

Answer 1

第一个问题很简单,;楼上的回答的很好,下面我解答第二个问题
先补充一个公式:在三角形ABC中,tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC
(证明很简单,只需用tanA=-tan(B+C)=-[(tanB+tanC)/1-tanB*tanC]代如上式即可)
解:因为(tanA*tanB*tanC-tanB)^2=(tanB^3-tanB)^2=(tanA+tanC)^2>=4tanA*tanC=4tanB^2 根据平均值不等式(a+b)^2>=4ab
所以(tanB^3-tanB)^2>=4tanB^2即是(tanB^2-1)^2>=4
所以tanB^2-1=2即是tanB>=更号3或