设函数f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间[1,3]上是单调函数,则实数a的取值范围是?(注:

Question

设函数f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间[1,3]上是单调函数,则实数a的取值范围是?(注:

Answer 1

f'(x)=x²+2ax+5
∵f（3）在（1,3）上为单调函数,∴f'(x)≤0或f’（x）≥0在（1,3）上恒成立.
令f'(x)=0即x²+2ax+5)=0 则a=-（x²+5）/2x
设g(x)=-（x²+5）/2x 则g’（x）=（5-x²）/2x²
令g’（x）=0得：x=√5或x=-√5（舍去）
∴当1≤x≤√5时,g’（x）≥0,当√5≤x≤3时,g’（x）≤0
∴g（x）在(1,√5）上递增,在（√5,3）上递减,
g（1)=-3 g(3)=-7/3,g(√5）=-√5
∴g(x)的最大值为g(√5）=-√5,最小值为g（1)=-3
∴当f'(x)≤0时,a≤g(x)≤g（1)=-3
当f’（x）≥0时,a≥g(x)≥g(√5）=-√5
∴a≤-3或a≥-√5