已知，函数．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的取值范围．

Question

已知 ，函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的最小值；
（Ⅱ）若 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．

Answer 1

已知 ，函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的最小值；
（Ⅱ）若 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．

（Ⅰ）1；（Ⅱ） 或

试题分析：（Ⅰ）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其最值。（Ⅱ） 在区间 上是单调函数说明在 上 或 恒成立。 的取值范围应将函数单调性问题转化为求最值问题。注意对 的讨论。
试题解析：（Ⅰ）当 时， （ ），
．
所以，当 时， ；当 时， ．
所以，当 时，函数有最小值 ．　　　　    ６分
（Ⅱ） ．
当 时， 在 上恒大于零，即 ，符合要求．
当 时，要使 在区间 上是单调函数，
当且仅当 时， 恒成立．
即 恒成立．
设 ，
则 ，
又 ，所以 ，即 在区间 上为增函数，
的最小值为 ，所以 ．
综上， 的取值范围是 ，或 ．     13分