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函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b∈R.若函数f(x)在其定义域内是单调函数,求b的取值范围.
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函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b∈R.若函数f(x)在其定义域内是单调函数,求b的取值范围.
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答案和解析
由x+1>0,得x>-1,所以函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
再由f(x)=x2+bln(x+1),得:f′(x)=2x+
=
,
要使函数f(x)在其定义域内是单调函数,则f′(x)在(-1,+∞)上恒大于等于0或恒小于等于0,
因为x+1>0,
令g(x)=2x2+2x+b,则g(x)在(-1,+∞)上恒大于等于0或恒小于等于0,
函数g(x)开口向上,且对称轴为x=−
,所以只有当△=22-4×2b≤0,即b≥
时g(x)≥0恒成立.
所以,使函数f(x)在其定义域内是单调函数的b的取值范围是[
,+∞).
再由f(x)=x2+bln(x+1),得:f′(x)=2x+
b |
x+1 |
2x2+2x+b |
x+1 |
要使函数f(x)在其定义域内是单调函数,则f′(x)在(-1,+∞)上恒大于等于0或恒小于等于0,
因为x+1>0,
令g(x)=2x2+2x+b,则g(x)在(-1,+∞)上恒大于等于0或恒小于等于0,
函数g(x)开口向上,且对称轴为x=−
1 |
2 |
1 |
2 |
所以,使函数f(x)在其定义域内是单调函数的b的取值范围是[
1 |
2 |
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