导数的运算已知曲线C1:y=x²与C2:y=-(x-2)²，直线l与C1、C2都相切直线l方程。问当a为何值时，直线y=x与对数函数y=logaX的图像相切，并求切点及切线方程.

Question

导数的运算已知曲线C1:y=x²与C2:y=-(x-2)²，直线l与C1、C2都相切直线l方程。 问当a为何值时，直线y=x与对数函数y=logaX的图像相切，并求切点及切线方程.

Answer 1

1.设该直线l:y=kx+b（斜率存在时） 有直线l与C1、C2都相切 则y=x²与y=kx+b只有一组解，即x²-kx-b=0只有一解，故k²+4b=0 又y=-(x-2)²与y=kx+b只有一组解，即(x-2)²+kx+b=0只有一解，故（k-4)²-4(b-4)=0 将k²+4b=0带入其中求解得：k²-4k+16=0无解故此时不存在直线l 当直线L斜率不存在时，设直线l:y=m,作图易知m=0是满足条件。 故与C1、C2都相切的直线l：y=0 2.设所求切点为点M(H,logaH), 则过点M的函数y=logaX的切线方程为：y=y（H）'(x-H)+logaH=1/(Hlna)(x-H)+logaH=x（对于任意x成立） 解得：H=e,a=e^(1/e) 则切点M（e,e） 对数函数为y=elnx过其图像上任意点（x0,elnx0）的切线方程为：y=e/x0(x-x0)+elnx0即：y=ex/x0+e(lnx0-1) 希望对你有所帮助！