若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）<1且f（0）=3，则不等式f(x)>2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．

Question

若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）<1且f（0）=3，则不等式f(x)> (2)/(ex)+1（其中e为自然对数的底数）的解集为___．

Answer 1

设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）<1，
∴f（x）+f′（x）-1<0，
∴g′（x）<0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵e^xf（x）>e^x+2，
∴g（x）>2，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=3-1=2，
∴g（x）>g（0），
∴x<0
故答案为：（-∞，0）．