已知函数f（x）=x-1-lnx，g（x）=ex-e-x-ax（e为自然对数的底数）．（1）若g（x）为R上的增函数，求a的取值范围；（2）f（x）的导函数为f′（x），若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证：f′（x1）+f′

Question

已知函数f（x）=x-1-lnx，g（x）=e^x-e^-x-ax（e为自然对数的底数）．
（1）若g（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）f（x）的导函数为f′（x），若x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），求证：f′（x₁）+f′（x₂）<0．

Answer 1

（1）∵g（x）=e^x-e^-x-ax，
∴g′（x）=e^x+e^-x-a，
∵g（x）为R上的增函数，
∴g′（x）>0恒成立，
∴ax+e^-x，
令t=e^x（t>0），
∵y=t+(1)/(t)在（0，+∞）是对号函数，在t=1处取最小值，最小值为2，
∴y=e^x+e^-x在x=0处取得最小值，为2，
∴a≤2．
（2）∵f（x）=x-1-lnx，
∴f′（x）=1-(1)/(x)，定义域为（0，+∞），
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∵x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），
∴可令x₁<x₂
则x₁<1<x₂
∴（x₁-1）（x₂-1）<0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1<0
∴1+(1)/(x1x2)<(x1+x2)/(x1x2)hdygb
∵要证明f′（x₁）+f′（x₂）<0
只需证2<(x1+x2)/(x1x2)
∵x₁•x₂<1
∴(1)/(x1x2)>1
∴2<1+(1)/(x1x2)<(x1+x2)/(x1x2)
∴原命题得证，即f′（x₁）+f′（x₂）<0