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一次函数r(x)=ax+b的图象过原点,函数h(x)=lnx定义在(1,e)(e为自然对数的底)上.(Ⅰ)若f(x)=r(x)+h(x)有极值,求实数a的取值范围;(Ⅱ)记函数g(x)=x3-x-2,x∈(1,e),
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一次函数r(x)=ax+b的图象过原点,函数h(x)=lnx定义在(1,e)(e为自然对数的底)上.
(Ⅰ)若f(x)=r(x)+h(x)有极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)记函数g(x)=x3-x-2,x∈(1,e),在(Ⅰ)的条件下,证明在函数f(x)图象上任取点A,总能在g(x)图象上找到相应的点B,使A、B连线平行于x轴.
(Ⅰ)若f(x)=r(x)+h(x)有极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)记函数g(x)=x3-x-2,x∈(1,e),在(Ⅰ)的条件下,证明在函数f(x)图象上任取点A,总能在g(x)图象上找到相应的点B,使A、B连线平行于x轴.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵r(x)=ax+b的图象过原点,
∴b=0,∴f(x)=ax+lnx.
求导可得f′(x)=a+
,
令f′(x)=a+
=0,可得a=−
.
∵x∈(1,e),∴−
∈(−1,−
),∴a∈(−1,−
).
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下:
∴实数a的取值范围是(-1,-
)
(II)由(I)知f(x)有极大值f(-
)=-1+ln(-
)
∵f(1)=a,f(e)=ae+1
∴-1<
<−
当
<a<−
时,函数的值域是[a,-1+ln(-
)]
同理知g(x)在(1,e)上的值域是(-2,e3-e-2)
e3-e-2>0,a∈(−1,−
),−1+ln(−
)<0,
所以e3-e-2>−1+ln(−
),-2<ae+1,-2<a,
∴(ae+1, −1+ln(−
)]⊆(-2,e3-e-2),(a, −1+ln(−
)]⊆(-2,e3-e-2),
∴∀x1∈(1,e),∃x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
∴在函数f(x)图象上任取点A,总能在g(x)图象上找到相应的点B,
使A、B连线平行于x轴.
∴b=0,∴f(x)=ax+lnx.
求导可得f′(x)=a+
1 |
x |
令f′(x)=a+
1 |
x |
1 |
x |
∵x∈(1,e),∴−
1 |
x |
1 |
e |
1 |
e |
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下:
x | (1,−
| −
| (−
| ||||||
f'(x) | + | 0 | - | ||||||
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
1 |
e |
(II)由(I)知f(x)有极大值f(-
1 |
a |
1 |
a |
∵f(1)=a,f(e)=ae+1
∴-1<
1 |
1−e |
1 |
e |
当
1 |
1−e |
1 |
e |
1 |
a |
同理知g(x)在(1,e)上的值域是(-2,e3-e-2)
e3-e-2>0,a∈(−1,−
1 |
e |
1 |
a |
所以e3-e-2>−1+ln(−
1 |
a |
∴(ae+1, −1+ln(−
1 |
a |
1 |
a |
∴∀x1∈(1,e),∃x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
∴在函数f(x)图象上任取点A,总能在g(x)图象上找到相应的点B,
使A、B连线平行于x轴.
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