已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1），e为自然对数的底数．（1）若关于x的不等式f（x）≥λ（x-2）在（1，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）若关于x的方程f（x+1）=a有两个实根x1，x2，求证

Question

已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1），e为自然对数的底数．
（1）若关于x的不等式f（x）≥λ（x-2）在（1，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x+1）=a有两个实根x₁，x₂，求证：|x₁-x₂|<(3)/(2)a+1+(1)/(2e3)．

Answer 1

（1）记g（x）=f（x）-λ（x-2）=（x-1）ln（x-1）-λ（x-2），其中x>1，
∴g'（x）=ln（x-1）+1-λ，令g'（x）=0，得x=e^λ-1+1，
当1λ-1+1时，g'（x）<0；当x>e^λ-1+1时，g'（x）>0；
∴当x=e^λ-1+1时，g（x）取得最小值g（e^λ-1+1）=-e^λ-1+λ； 
∵关于x的不等式f（x）≥λ（x-2）在（1，+∞）恒成立，
∴λ-e^λ-1≥0，
记G（λ）=λ-e^λ-1，则G'（λ）=1-e^λ-1，令G'（λ）=0，得λ=1．
当λ<1时，G'（x）>0；当λ>1时，G'（x）<0；
∴当λ=1时，函数G（λ）取得最大值G（1）=0，
∴λ-e^λ-1≤0当且仅当λ=1时取等号；
∴λ-e^λ-1=0，即λ=1．
∴实数λ的取值范围为{1}．                     
证明：（2）先证f（x+1）≥-2x-e^-3，
记h（x）=f（x+1）-（-2x-e^-3）=xlnx+2x+e^-3，
则h'（x）=lnx+3，令h'（x）=0得x=e^-3，
∴当0-3时，h'（x）<0；当x>e^-3时，h'（x）>0；
∴当x=e^-3时，h（x）取得最小值h（e^-3）=e^-3lne^-3+2e^-3+e^-3=0，
∴h（x）≥0恒成立，也即f（x+1）≥-2x-e^-3，
记直线y=-2x-e^-3，y=x-1别与y=a交于(x1′，a)，(x2′，a)，
不妨设x₁<x₂，则a=-2x1′-e-3=f(x1+1)≥-2x1-e-3，
从而x1′≤x1，当且仅当a=-3e^-3时取等号；                 
由（1）知：f（x+1）≥x-1，则a=x2′-1=f(x2+1)≥x₂-1，
从而x2≤x2′，当且仅当a=0时取等号；     
故|x1-x2|=x2-x1≤x2′-x1′=(a+1)-(-(a)/(2)-(1)/(2e3))=(3a)/(2)+1+(1)/(2e3)，
因等号成立的条件不能同时满足，故|x₁-x₂|<(3)/(2)a+1+(1)/(2e3)．