已知函数f（x）=mx+lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；（3）当m=-1时，g（x）=lnxx+12，试证明函数y

Question

已知函数f（x）=mx+lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．
（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；
（3）当m=-1时，g（x）=(lnx)/(x)+(1)/(2)，试证明函数y=|f（x）|的图象恒在函数y=g（x）的图象的上方．

Answer 1

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当m=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+(1)/(x)，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=m+(1)/(x)，x∈（0，e]，(1)/(x)∈[(1)/(e)，+∞）．
①若m≥-(1)/(e)，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合题意．
②若m＜-(1)/(e)，则由f′（x）＞0⇒m+(1)/(x)＞0，即0＜x＜-(1)/(m)由f′（x）＜0m+1=(1)/(x)＜0，即-(1)/(m)＜x≤e．
从而f（x）在（0，-(1)/(m)）上增函数，在（-(1)/(m)，+∞）为减函数
∴f（x）_max=f（-(1)/(m)）=-1+ln（-(1)/(m)），
令-1+ln（-(1)/(m)）=-3，则ln（-(1)/(m)）=-2
∴-(1)/(m)=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-(1)/(e)，
∴a=-e²为所求．
（3）m=-1时，f（x）=-x+lnx，
由（1）得f（x）≤f（1）=-1，于是y=|f（x）|≥1，
函数g（x）=(lnx)/(x)+(1)/(2)的定义域（0，+∞），求导得g′（x）=(1−lnx)/(x2)，
令g′（x）＞0，得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴g（x）≤g（e）=(1)/(e)+(1)/(2)＜1，
∴函数y=|f（x）|的图象恒在y=g（x）的图象的上方．