已知函数f（x）=axex-（a-1）（x+1）2（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=axe^x-（a-1）（x+1）²（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题知，f（x）=-xe^x+2（x+1）²，
f'（x）=-e^x-xe^x+4（x+1）=（x+1）（4-e^x），
由f'（x）=0得到x=-1或x=ln4，
而当xx）>0，x>ln4时，（4-e^x）<0，列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln4）	ln4	（ln4，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极大值	↗	极小值	↘

所以，此时f（x）的减区间为（-∞，-1），（ln4，+∞），增区间为（-1，ln4）；
（2）f'（x）=ae^x+axe^x-2（a-1）（x+1）=（x+1）（ae^x-2a+2），
由f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a=0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得ex=(2a-2)/(a)，故由(2a-2)/(a)≤0得0<a≤1，
由于这两种情况都有，当x<-1时，f'（x）<0，于是f（x）为减函数，
当x>-1时，f'（x）>0，于是f（x）为增函数，
∴仅x=-1为f（x）的极值点，
综上可得a的取值范围是[0，1]．