设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=f′(1)eex-f（0）x+12x2（e是自然对数的底数）．（1）求f（0）和f′（1）的值；（2）若g（x）=12x2+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同

Question

设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=(f′(1))/(e)e^x-f（0）x+(1)/(2)x²（e是自然对数的底数）．
（1）求f（0）和f′（1）的值；
（2）若g（x）=(1)/(2)x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=(f′(1))/(e)e^x-f（0）x+(1)/(2)x²，
∴f′（x）=(f′(1))/(e)ex-f(0)+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
∴f（0）=1，
∴f（x）=(f′(1))/(e)e^x-x+(1)/(2)x²，
∴f（0）=f′（1）-0+0，
∴f′（1）=1．
（2）由（1）可得：f（x）=(1)/(e)ex-x+(1)/(2)x2，
由g（x）=(1)/(2)x²+a=f（x），化为a=(1)/(e)ex-x=h（x），x∈[-1，2]．
∴h′（x）=(ex)/(e)-1=(ex-e)/(e)，
令h′（x）>0，解得1<x<2，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）<0，解得-1<x<1，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=0．而h（-1）=(1)/(e2)+1，h（2）=e-2．
∵g（x）=(1)/(2)x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同的交点，
∴0<a<e-2．
∴实数a的取值范围是（0，e-2）．