已知函数f（x）=xex-12a（x+1）2（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由．

Question

已知函数f（x）=xe^x-(1)/(2)a（x+1）²（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=xe^x-(1)/(2)（x+1）²，
则f′（x）=e^x+xe^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
由f′（x）=0，得x=-1或x=0．
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的增区间为（-∞，-1），（0，+∞）；减区间为（-1，0）；
（2）求导可知f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（e^x-a），
当a≤0时e^x-a>0，此时令f′（x）=0可知x=-1，
从而函数f（x）的增区间为（-1，+∞）、减区间为（-∞，-1），
此时f（x）有极小值点-1；
当a>0时，令f′（x）=0，解得x=-1或x=lna．
①当lna=-1即a=(1)/(e)时，则f′（x）≥0，即函数f（x）在R上为增函数，此时f（x）无极值点；
②当lna>-1即a>(1)/(e)时，则由f′（x）>0可知x<-1或x>lna，由f′（x）<0可知-1<x<lna，
即函数f（x）的增区间为（-∞，-1），（lna，+∞）、减区间为（-1，lna），
此时f（x）有极大值点-1、极小值点lna；
③当lna<-1即0<a<(1)/(e)时，则由f′（x）>0可知x<lna或x>-1，由f′（x）<0可知lna<x<-1，
即函数f（x）的增区间为（-∞，lna），（-1，+∞）、减区间为（lna，-1），
此时f（x）有极大值点lna、极小值点-1；
综上所述，当a≤0时函数f（x）有一个极值点，当a=(1)/(e)时函数f（x）没有极值点，当0<a<(1)/(e)或a>(1)/(e)时函数f（x）有两个极值点．