已知函数f（x）=aex-x2（其中a∈R，e是自然对数底数）．（1）若a=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1<x2），求a的取值范围；（3）在（2

Question

已知函数f（x）=ae^x-x²（其中a∈R，e是自然对数底数）．
（1）若a=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁<x₂），求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明0<f（x₁）<1．

Answer 1

（1）a=-2时，f（x）=-2e^x-x²，f′（x）=-2e^x-2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）<0，函数f（x）在（0，+∞）递减；
（2）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ae^x-2x=0的两个根，
即方程a=(2x)/(ex)有两个根，设h（x）=(2x)/(ex)，则h′（x）=(2-2x)/(ex)，
令h′（x）>0，解得：x<1，令h′（x）<0，解得：x>1，
∴h（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
要使a=(2x)/(ex)有两个根，只需0<a<h（1）=(2)/(e)，
故实数a的范围是（0，(2)/(e)）；
（3）证明：由（2）得：函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0<x₁<1<x₂，
由f′（x₁）=aex1-2x₁=0得a=(2x1)/(ex1)，
∴f（x₁）=aex1-x12=-x12+2x₁，
由于f（x₁）=-x12+2x₁在（0，1）递增，
由0<x₁<1得：0=f（0）<f（x₁）<f（1）=1．