已知函数f（x）=mlnx+nex（m，n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2e；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=f

Question

已知函数f（x）=(mlnx+n)/(ex)（m，n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=(2)/(e)；
（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 设g（x）=f′（x）•(exln(x+1))/(2)（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

（Ⅰ）由f(x)＝mlnx+nex得f′(x)＝m−nx−mxlnxxex（x＞0）．由已知得f′(1)＝m−ne＝0，解得m=n．又f(1)＝ne＝2e，即n=2，∴m=n=2．…（3分）（Ⅱ） 由 （Ⅰ）得f′(x)＝2xex(1−x−xlnx)，令p（x）=1-x-...