设三角形ABC面积为S,求证：S=√（p（p-a）（p-b）（p-c））a,b,c为三角形三边,2p=a+b+c.要用正余弦定理.谢谢

Question

设三角形ABC面积为S,求证： S=√（p（p-a）（p-b）（p-c））
a,b,c为三角形三边,2p=a+b+c.
要用正余弦定理.
谢谢

Answer 1

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]