三种方法证明余弦定理

Question

三种方法证明余弦定理

Answer 1

在△ABC中,AB＝c、BC＝a、CA＝b
则c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC
　a^2＝b^2＋c^2－2bc*cosA
　b^2＝a^2＋c^2－2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推.
过A作AD⊥BC于D　,则BD＋CD＝a
由勾股定理得：
c^2＝(AD)^2＋(BD)^2　,(AD)^2＝b^2－(CD)^2
所以c^2＝(AD)^2－(CD)^2＋b^2
　　　＝(a－CD)^2－(CD)^2＋b^2
　　　＝a^2－2a*CD ＋(CD)^2－(CD)^2＋b^2
　　　＝a^2＋b^2－2a*CD
因为cosC＝CD/b
所以CD＝b*cosC
所以c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC