在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．

Question

在 中，角A，B，C所对的边分别为
（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；
（Ⅱ）设 ， ，求 的值．

Answer 1

在 中，角A，B，C所对的边分别为
（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；
（Ⅱ）设 ， ，求 的值．

(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)正弦定理： ，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设 的外接圆的半径为 ，连接 并延长交圆 于点 ，则 ，直径所对的圆周角 ，在直角三角形 中， ，从而得到 ，同理可证 ， ，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将 化为 ①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到 ，则 ，再由二倍角公式 求解.
试题解析：(Ⅰ) 正弦定理： .
证明：设 的外接圆的半径为 ，连接 并延长交圆 于点 ，如图所示：

则 ， ，在 中， ，即 ，则有 ，同理可得 ， ，所以 .
(Ⅱ)∵ ，由正弦定理得， ，
，
，
， ，
解得 ， ，
∴ .