设球体x2+y2+z2≤2az（a＞0）的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数k＞0），求球体的质量M及球体绕z轴旋转的转动惯量Iz．

Question

设球体x²+y²+z²≤2az（a＞0）的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数k＞0），求球体的质量M及球体绕z轴旋转的转动惯量I_z．

Answer 1

由题设知，球体Ω上任一点的密度ρ(x，y，z)＝(k)/(√(x2+y2+z2))，
则球体的质量M＝

∫∫∫

Ω

ρ(x，y，z)dv＝

∫∫∫

Ω

(k)/(√(x2+y2+z2))dv=

∫

2π  0

dθ

∫	(π)/(2)  0

dφ

∫

2acosφ  0

(k)/(r)r2sinφdr＝(4)/(3)πka2
转动惯量Iz＝

∫∫∫

Ω

(x2+y2)ρ(x，y，z)dv＝

∫∫∫

Ω

(k(x2+y2))/(√(x2+y2+z2))dv=

∫

2π  0

dθ

∫	(π)/(2)  0

dφ

∫

2acosφ  0

kr3sin3φdr＝

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

根据已知条件写出球体的密度，然后再用三重积分

(16)/(35)

∫∫∫

Ω

ρ(x，y，z)dv计算球体质量和转动惯量Iz＝

∫∫∫

Ω

(x2+y2)ρ(x，y，z)dv即可．

名师点评

本题考点：

三重积分的物理意义和几何意义；利用球坐标计算三重积分．

考点点评：

此题考查三重积分的物理学应用：质量和转动惯量，只需要熟悉公式和三重积分的计算方法，此题不难．

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