垂直上抛一个质量为m的小球,初速度为v0,若空气阻力的大小与速度的平方成正,比例系数为mk,求小球的最大上升高度

Question

垂直上抛一个质量为m的小球,初速度为v0,若空气阻力的大小与速度的平方成正,比例系数为mk,求小球的最大上升高度

Answer 1

该物体收到一个变化的阻力和基本不变的地球引力,不是匀减速运动,不能套用上抛运动公式.正确解法应该是,依题列出微分方程：
mh''=-mg-mkh' h'(0)=v0 h(0)=0
解此微分方程得：
h=-1/k*g*t+(g+v0*k)/k^2-(g+v0*k)/k^2*exp(-k*t)
令h'=0 得：h'=-1/k*g+(g+v0*k)/k*exp(-k*t)=0
(g+v0*k)/k*exp(-k*t)=1/k*g
exp(-k*t)=g/(g+v0*k)
-kt=lng-ln(g+v0*k)
t=1/kln(1+v0*k/g)
代入h,就可求出最大高度了.