设双曲线Cx^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F,O为坐标原点,若以线段OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交与点A（不同于O点）使△OAF的面积为b^2,求双曲线的离心率

Question

设双曲线Cx^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F,O为坐标原点,若以线段OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近
线交与点A（不同于O点）使△OAF的面积为b^2,求双曲线的离心率

Answer 1

设F（C,0）A（X,Y）,则有
圆方程为（X-C/2）^2+Y^2=C^2/4,化简得X^2-CX+Y^2=0
因三角形OAF的面积为b^2,则b^2=1/2YC,得Y=2b^2/C,由渐进线Y=b/aX,可解得X=2ab/c
将X和Y代入圆方程,得4a^2b^2/c^2+4b^4/c^2=2ab,化简得2b=a,
c^2=a^2+b^2=3/2a^2,离心率e=c/a=√6/2