已知O为坐标原点，直线y=x+a与圆x2+y2=4分别交于A，B两点.若OA•OB＝−2，则实数a的值为（）A.1B.2C.±1D.±2

Question

已知O为坐标原点，直线y=x+a与圆x²+y²=4分别交于A，B两点.若

OA

•

OB

＝−2，则实数a的值为（　　）
A. 1
B. √(2)
C. ±1
D. ±√(2)

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y＝x+a

x2+y2＝4

，化为2x²+2ax+a²-4=0，
∵直线与圆相交于两点，
∴△=4a²-8（a²-4）＞0，化为a²＜8．（*）
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=(a2−4)/(2)．
∵

OA

•

OB

＝−2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，
∵y₁y₂=（x₁+a）（x₂+a）=x1x2+a(x1+x2)+a2，代入上式可得2x1x2+a(x1+x2)+a2＝−2．
∴2×(a2−4)/(2)+a×(−a)+a2＝−2．
化为a²=2满足（*）
解得a＝±√(2)．
故选：D．