如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点

Question

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

Answer 1

（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4
∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意，得

4a−2b+c＝0

              c＝4

16a+4b+c＝0

，
解得a＝−(1)/(2)，b=1，c=4，
∴所求抛物线的解析式为y＝−(1)/(2)x2+x+4；
（3）只需求AF+CE最短，
抛物线y＝−(1)/(2)x2+x+4的对称轴为x=1，
将点A向上平移至A₁（-2，1），则AF=A₁E，
作A₁关于对称轴x=1的对称点A₂（4，1），
连接A₂C，A₂C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A₂C的解析式为y＝−(1)/(4)x+2，
当x=1时，y＝(7)/(4)，
∴点E的坐标为(1，(7)/(4))，点F的坐标为(1，(3)/(4))．