求解常微分方程dydx＝x3y3-xy．

Question

求解常微分方程(dy)/(dx)＝x3y3-xy．

Answer 1

由(dy)/(dx)+xy＝x3y3，得y−3(dy)/(dx)+xy−2＝x3．
令y^-2=u，则
−2y−3(dy)/(dx)＝(du)/(dx)．
即(du)/(dx)−2xu＝−2x3．
这是一阶线性微分方程，其中P（x）=-2x，Q（x）=-2x³，
∴∫P(x)dx＝−x2，
∫Q(x)e∫P(x)dxdx＝−2∫x3e−x2dx＝∫x2de−x2u＝ex2(x2e−x2+e−x2+C)
∴原方程的通y−2＝ex2(x2e−x2+e−x2+C)．