一元二次方程永远有根吗我在数学教科书上看到的,在讲述一元二次方程求根公式时,注释说“当b^2-4ac＜0时方程无解”,可是如果在复数范围内是可以用虚数表示的.我想问的是,教科书的说法是

Question

一元二次方程永远有根吗
我在数学教科书上看到的,在讲述一元二次方程求根公式时,注释说“当b^2-4ac＜0时方程无解”,可是如果在复数范围内是可以用虚数表示的.
我想问的是,教科书的说法是否有误?还是说,一元二次方程的根的取值范围必须是实数?根如果是虚数就是无根?

Answer 1

一元二次方程在复数范围内总有根.方程的根不一定为实根.
严谨地说,解方程时必须指明数系范围,是在复数范围内解方程,还是在实数范围内解方程,还是在有理数范围内解方程,是不一样的.
教科书上说的“当 b^2 - 4ac < 0 时方程无解”,仅是指在实数范围内的解不存在.这里教科书说法不是很严谨,由于还没有讲到复数,所以它就把复根的情况略去不提了.但你可以理解为教科书上的结论都是假设在实数范围内的,不必非得争论说它错了.
当然,如果我来写教材的这一部分,我至少会在书下加一个脚注,说明方程在复数范围内有根,或说明以上结论都在实数范围内讨论.