对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖.z‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复

Question

对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：
①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；
②‖z‖=‖

.

z

‖；③‖z₁‖=‖z₂‖，则z₁=±z₂；
④对任何复数z₁，z₂，z₃，不等式‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立，
其中真命题的个数是（　　）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：
在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，
当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，
∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；
在②中，∵z=a+bi，

.

z

=a-bi，∴‖z‖=‖

.

z

‖=|a|+|b|，故②成立；
在③中，当z₁=2+3i，z₂=3+2i时，‖z₁‖=‖z₂‖，但z₁≠±z₂，故③错误；
④对任何复数z₁，z₂，z₃，
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，z₃=a₃+b₃i，
则‖z₁-z₃‖=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
|a₁-a₃|≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|，
|b₁-b₃|≤|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
∴‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立．故④成立．
故选：C．