对于复数z=a+bi(a、b∈R,i为虚数单位),定义‖z‖=|a|+|b|,给出下列命题:①对任何复数,都有‖z‖≥0,等号成立的充要条件是z=0;②‖z‖=‖.z‖;③‖z1‖=‖z2‖,则z1=±z2;④对任何复
对于复数z=a+bi(a、b∈R,i为虚数单位),定义‖z‖=|a|+|b|,给出下列命题:
①对任何复数,都有‖z‖≥0,等号成立的充要条件是z=0;
②‖z‖=‖
‖;③‖z1‖=‖z2‖,则z1=±z2;z
④对任何复数z1,z2,z3,不等式‖z1-z3‖≤‖z1-z2‖+‖z2-z3‖恒成立,
其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
在①中,对任何复数,都有‖z‖≥0,
当z=0时,‖z‖=0;反之,当‖z‖=0时,z=0,
∴等号成立的充要条件是z=0,故①成立;
在②中,∵z=a+bi,
. |
z |
. |
z |
在③中,当z1=2+3i,z2=3+2i时,‖z1‖=‖z2‖,但z1≠±z2,故③错误;
④对任何复数z1,z2,z3,
设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,
则‖z1-z3‖=|a1-a3|+|b1-b3|,
‖z1-z2‖+‖z2-z3‖=|a1-a2|+|a2-a3|+|b1-b2|+|b2-b3|,
|a1-a3|≤|a1-a2|+|a2-a3|,
|b1-b3|≤|b1-b2|+|b2-b3|,
∴‖z1-z3‖≤‖z1-z2‖+‖z2-z3‖恒成立.故④成立.
故选:C.
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