已知首项为1,公比为t（t>0)的无穷等比数列的前n项和为Sn,设Tn=(1+Sn)/Sn+1+1是在n上的求Tn的极限

Question

已知首项为1,公比为t（t>0)的无穷等比数列的前n项和为Sn,设Tn=(1+Sn)/Sn+1
+1是在n上的
求Tn的极限

Answer 1

t＝1时,Sn＝n,所以Tn＝1,极限是1
t≠1时,
Sn＝(1-t^n)/(1-t),S(n+1)＝(1-t^(n+1))/(1-t),
Tn＝(1+Sn)/S(n+1)＝[1－t＋1－t^n]/[1－t^(n+1)]
0＜t＜1时,t^n → 0,所以Tn → 2－t
t＞1时,1/t^n → 0,分子分母同除以t^n,得Tn → 1/t