设各项均为正数的无穷数列{an}，{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn=an+an+1且an+12=bn•bn+1，（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）设a1=1，a2=3，b1=2，求{an}和{bn}的通项公式．

Question

设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{√(bn)}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=3，b₁=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：a_n+a_n+1=2b_n，①
b_nb_n+1=a_n+1²，②
②式两边开方得：a_n+1=√(bnbn+1)=√(bn)•√(bn+1)，③
①式两边平方，展开，然后将③代入，得：
b_nb_n-1+b_nb_n+1+2√(bn−1•bn•bn•bn+1)=4b_n•b_n，④
整理，得√(bn−1)+√(bn+1)＝2√(bn)，
∴数列{

作业帮用户 2017-10-29

问题解析

（1）由已知条件得到b_nb_n-1+b_nb_n+1+2√(bn−1•bn•bn•bn+1)=4b_n•b_n，由此能证明数列{√(bn)}是等差数列．
（2）由已知条件推导出√(bn)=(√(2))/(2)(n+1)，由此能求出{a_n}和{b_n}的通项公式．

名师点评

本题考点：

等差数列的性质．

考点点评：

本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议