若存在常数k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{an}满足an+1=an+d，nk∉N*tan，nk∈N*，则称数列{an}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做段长、段差、段比，设数列{bn}为“段

Question

若存在常数k（k∈N^*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{a_n}满足a_n+1=

an+d，(n)/(k)∉N*

tan，(n)/(k)∈N*

，则称数列{a_n}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做段长、段差、段比，设数列{b_n}为“段差比数列”．
（1）已知{b_n}的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d、t，若{b_n}是等比数列，求d、t的值；
（2）已知{b_n}的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n项和为S_3n，若不等式S3n≤λ•3n-1对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d≠0）的“段差比数列”{b_n}，对任意正整数n都有b_n+6=b_n．若存在，写出所有满足条件的{b_n}的段长k和段比t组成的有序数组（k，t）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）{b_n}的前4项依次为1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，
由前三项成等比数列得（1+d）²=t（1+d），
∵1+≠0，∴t=1+d，
那么第2，3，4项依次为t，t²，t²+t-1，∴t⁴=t（t²+t-1），∴t=±1．
t=1时，d=0，b_n=1，满足题意；
t=-1时，d=-2，b_n=（-1）^n-1，满足题意；
（2）∵{b_n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b_3n+2-b_3n-1=（b_3n+1+d）-b_3n-1=（qb_3n+d）-b_3n-1=[q（b_3n-1+d）+d]-b_3n-1=2d=6，
∴{b_3n-1}是以b₂=4为首项、6为公差的等差数列，
又∵b_3n-2+b_3n-1+b_3n=（b_3n-1-d）+b_3n-1+（b_3n-1+d）=3b_3n-1，
∴S_3n=（b₁+b₂+b₃）+（b₄+b₅+b₆）+…+（b_3n-2+b_3n-1+b_3n）=3（b₂+b₅+…+b_3n-1）=3[4n+(n(n-1))/(2)×6]=9n²+3n，…（6分）
∵S3n≤λ•3n-1，∴(S3n)/(3n-1)≤λ，
设c_n=(S3n)/(3n-1)，则λ≥（c_n）_max，
又c_n+1-c_n=(-2(3n2-2n-2))/(3n-1)，
当n=1时，3n²-2n-2<0，c₁<c₂；当n≥2时，3n²-2n-2>0，c_n+1<c_n，
∴c₁<c₂>c₃>…，∴（c_n）_max=c₂=14，…（9分）
∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）
（3）k取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，(b)/(b+d)），（3，(b)/(b+2d)），（3，-1），（6，(b)/(b+5d)）．